Em matemática, um ideal próprio de um anel comutativo é dito ser irredutível se não puder ser escrito como a interseção de dois ideais estritamente maiores.
Exemplos Todo ideal primo é irredutível. Sejam
J
{\displaystyle J}
e
K
{\displaystyle K}
ideais de um anel comutativo
R
{\displaystyle R}
, com nenhum deles contido no outro. Então existem
a ∈ J ∖ K
{\displaystyle a\in J\setminus K}
e
b ∈ K ∖ J
{\displaystyle b\in K\setminus J}
, onde nenhum está em
J ∩ K
{\displaystyle J\cap K}
mas o produto está. Isso prova que um ideal redutível não é primo. Um exemplo concreto disso são os ideais
2
Z
{\displaystyle 2\mathbb {Z} }
e
3
Z
{\displaystyle 3\mathbb {Z} }
contidos em
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
. A interseção é
6
Z
{\displaystyle 6\mathbb {Z} }
, e
6
Z
{\displaystyle 6\mathbb {Z} }
não é um ideal primo. Todo ideal irredutível de um anel noetheriano é um ideal primário, e consequentemente para anéis noetherianos uma decomposição irredutível é uma decomposição primária. Todo ideal primário de um domínio de ideais principais é um ideal irredutível. Todo ideal irredutível é primal. Todo ideal irredutível que também é radical é primo. O ideal
4
Z
{\displaystyle 4\mathbb {Z} }
é um exemplo de um ideal irredutível em
Z
{\displaystyle {\ce {\mathbb {Z} }}}
que não é radical e não é um ideal primo.
Propriedades Um elemento de um domínio de integridade é primo se e somente se o ideal gerado por ele for um ideal primo não nulo. Isso não é verdade para ideais irredutíveis; um ideal irredutível pode ser gerado por um elemento que não é um elemento irredutível, como é o caso em
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
para o ideal
4
Z
{\displaystyle 4\mathbb {Z} }
, uma vez que não é a interseção de dois ideais estritamente maiores. Na geometria algébrica, se um ideal
I
{\displaystyle I}
de um anel
R
{\displaystyle R}
é irredutível, então
V ( I )
{\displaystyle V(I)}
é um subconjunto irredutível na topologia de Zariski sobre o espectro
Spec R
{\displaystyle \operatorname {Spec} R}
. A recíproca não é verdadeira; por exemplo, o ideal
(
x
2
, x y ,
y
2
)
{\displaystyle (x^{2},xy,y^{2})}
em
C
[ x , y ]
{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}
define a variedade algébrica irredutível consistindo apenas na origem, mas não é um ideal irredutível, já que
(
x
2
, x y ,
y
2
) = (
x
2
, y ) ∩ ( x ,
y
2
)
{\displaystyle (x^{2},xy,y^{2})=(x^{2},y)\cap (x,y^{2})}
.
Ver também Módulo irredutível Espaço topológico irredutível Anel laskeriano
Referências