Função hipergeométrica

Na matemática, a função hipergeométrica gaussiana ou ordinária 2F1(a, b; c; z) é uma função especial representada pela série hipergeométrica, que inclui muitas outras funções especiais como casos específicos ou casos limites. É uma solução de uma equação diferencial ordinária (EDO) linear de segunda ordem. Toda EDO linear de segunda ordem com três pontos singulares regulares pode ser transformada nesta equação. Para listas sistemáticas de algumas das muitos milhares de identidades publicadas envolvendo a função hipergeométrica, veja as obras de referência de Erdélyi et al. (1953) e Olde Daalhuis ( 2010). Não há um sistema conhecido para organizar todas as identidades; de fato, não há algoritmo conhecido que possa gerar todas as identidades; vários algoritmos diferentes são conhecidos por gerar diferentes séries de identidades. A teoria da descoberta algorítmica de identidades continua sendo um tópico de pesquisa ativo.

História O termo "série hipergeométrica" foi usado pela primeira vez por John Wallis em seu livro de 1655 Arithmetica Infinitorum. As séries hipergeométricas foram estudadas por Leonhard Euler, mas o primeiro tratamento sistemático completo foi dado por Carl Friedrich Gauss (1813). Estudos no século XIX incluíram os de Ernst Kummer (1836), e a caracterização fundamental por Bernhard Riemann (1857) da função hipergeométrica por meio da equação diferencial que ela satisfaz. Riemann mostrou que a equação diferencial de segunda ordem para 2F1(z), examinada no plano complexo, poderia ser caracterizada (na Esfera de Riemann) pelos seus três pontos singulares regulares. Os casos onde as soluções são funções algébricas foram encontrados por Hermann Schwarz (Lista de Schwarz).

A série hipergeométrica A função hipergeométrica é definida para |z| < 1 pela série de potências

( a , b ; c ; z ) =

∑

n = 0

∞

( a

)

( b

)

( c

)

n !

= 1 +

a b

1 !

a ( a + 1 ) b ( b + 1 )

c ( c + 1 )

2 !

+ ⋯ .

{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots .}

Ela é indefinida (ou infinita) se c for igual a um inteiro não positivo. Aqui (q)n é o símbolo de Pochhammer (crescente), que é definido por:

( q

)

{

n = 0

q ( q + 1 ) ⋯ ( q + n − 1 )

n > 0

{\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}}

A série termina se a ou b for um inteiro não positivo, caso em que a função se reduz a um polinômio:

( − m , b ; c ; z ) =

∑

n = 0

( − 1

)

(

m n

)

( b

)

( c

)

{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}

Para argumentos complexos z com |z| ≥ 1 ela pode ser continuada analiticamente ao longo de qualquer caminho no plano complexo que evite os pontos de ramificação 1 e infinito. Na prática, a maioria das implementações de computador da função hipergeométrica adota um corte de ramo ao longo da reta z ≥ 1. Como c → −m, onde m é um inteiro não negativo, tem-se 2F1(z) → ∞. Dividindo pelo valor Γ(c) da função gama, obtemos o limite:

lim

c → − m

( a , b ; c ; z )

Γ ( c )

( a

)

m + 1

( b

)

m + 1

( m + 1 ) !

m + 1

( a + m + 1 , b + m + 1 ; m + 2 ; z )

{\displaystyle \lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z)}

2F1(z) é o tipo mais comum de série hipergeométrica generalizada pFq.

Fórmulas de diferenciação Usando a identidade

( a

)

n + 1

= a ( a + 1

)

{\displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}

, mostra-se que

d z

( a , b ; c ; z ) =

a b

( a + 1 , b + 1 ; c + 1 ; z )

{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}

e mais genericamente,

( a , b ; c ; z ) =

( a

)

( b

)

( c

)

( a + n , b + n ; c + n ; z )

{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}

Casos especiais Muitas das funções matemáticas comuns podem ser expressas em termos da função hipergeométrica, ou como casos limite dela. Alguns exemplos típicos são

(

1 , 1 ; 2 ; − z

)

ln ⁡ ( 1 + z )

( a , b ; b ; z )

= ( 1 − z

)

− a

( b

arbitrário

)

(

1 2

;

3 2

;

)

arcsin ⁡ ( z )

(

1 3

2 3

;

3 2

; −

)

3 x

+ 4

−

3 x

+ 4

{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a}\quad (b{\text{ arbitrário}})\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\end{aligned}}}

Quando a = 1 e b = c, a série se reduz a uma simples série geométrica, ou seja,

(

1 , b ; b ; z

)

(

1 ; ; z

)

= 1 + z +

+ ⋯

{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,b;b;z\right)&={_{1}F_{0}}\left(1;;z\right)=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \end{aligned}}}

daí o nome hipergeométrica. Esta função pode ser considerada como uma generalização da série geométrica. A função hipergeométrica confluente (ou função de Kummer) pode ser dada como um limite da função hipergeométrica

M ( a , c , z ) =

lim

b → ∞

( a , b ; c ;

− 1

z )

{\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{_{2}F_{1}}(a,b;c;b^{-1}z)}

de modo que todas as funções que são essencialmente casos especiais desta, como as funções de Bessel, podem ser expressas como limites de funções hipergeométricas. Isso inclui a maioria das funções comumente usadas na física matemática. As funções de Legendre são soluções de uma equação diferencial de segunda ordem com 3 pontos singulares regulares e, assim, podem ser expressas em termos da função hipergeométrica de muitas maneiras, por exemplo

( a , 1 − a ; c ; z ) = Γ ( c )

1 − c

( 1 − z

)

c − 1

− a

1 − c

( 1 − 2 z )

{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}

Vários polinômios ortogonais, incluindo os Polinômios de Jacobi P(α,β)n e seus casos especiais Polinômios de Legendre, Polinômios de Chebyshev, Polinômios de Gegenbauer, Polinômios de Zernike podem ser escritos em termos de funções hipergeométricas usando

( − n , α + 1 + β + n ; α + 1 ; x ) =

n !

( α + 1

)

( α , β )

( 1 − 2 x )

{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}

Outros polinômios que são casos especiais incluem os Polinômios de Krawtchouk, Polinômios de Meixner, Polinômios de Meixner-Pollaczek. Dado

z ∈

∖ { 0 , 1 }

{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}

, seja

τ =

(

1 2

; 1 ; 1 − z

)

(

1 2

; 1 ; z

)

{\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}.}

Então

λ ( τ ) =

( τ

)

( τ

)

= z

{\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}=z}

é a função lambda modular, onde

( τ ) =

∑

n ∈

π i τ ( n + 1

)

( τ ) =

∑

n ∈

π i τ

{\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau n^{2}}.}

O j-invariante, uma função modular, é uma função racional em

λ ( τ )

{\displaystyle \lambda (\tau )}

. As funções beta incompletas Bx(p, q) estão relacionadas por

( p , q ) =

( p , 1 − q ; p + 1 ; x ) .

{\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x).}

As integrais elípticas completas K e E são dadas por

K ( k )

π 2

(

1 2

; 1 ;

)

E ( k )

π 2

(

−

1 2

; 1 ;

)

{\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right),\\E(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).\end{aligned}}}

A equação diferencial hipergeométrica A função hipergeométrica é uma solução da equação diferencial hipergeométrica de Euler

z ( 1 − z )

[

c − ( a + b + 1 ) z

]

d w

d z

− a b

w = 0.

{\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}

que possui três pontos singulares regulares: 0, 1 e ∞. A generalização desta equação para três pontos singulares regulares arbitrários é dada pela Equação diferencial de Riemann. Qualquer equação diferencial linear de segunda ordem com três pontos singulares regulares pode ser convertida para a equação diferencial hipergeométrica através de uma mudança de variáveis.

Soluções nos pontos singulares Soluções para a equação diferencial hipergeométrica são construídas a partir da série hipergeométrica 2F1(a, b; c; z). A equação tem duas soluções linearmente independentes. Em cada um dos três pontos singulares 0, 1, ∞, geralmente existem duas soluções especiais da forma xs vezes uma função holomorfa de x, onde s é uma das duas raízes da equação indicial e x é uma variável local que se anula em um ponto singular regular. Isso nos dá 3 × 2 = 6 soluções especiais, conforme abaixo. Ao redor do ponto z = 0, duas soluções independentes são, se c não for um número inteiro não positivo,

( a , b ; c ; z )

{\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)}

e, com a condição de que c não seja um número inteiro,

1 − c

( 1 + a − c , 1 + b − c ; 2 − c ; z )

{\displaystyle z^{1-c}{_{2}F_{1}}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}

Se c for um número inteiro não positivo 1 − m, então a primeira dessas soluções não existe e deve ser substituída por

F ( a + m , b + m ; 1 + m ; z ) .

{\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}

A segunda solução não existe quando c for um inteiro maior que 1, e é igual à primeira solução, ou sua substituição, quando c for qualquer outro inteiro. Portanto, quando c for um número inteiro, uma expressão mais complicada deve ser usada para uma segunda solução, igual à primeira solução multiplicada por ln(z), mais outra série em potências de z, envolvendo a função digama. Veja Olde Daalhuis (2010) para maiores detalhes. Ao redor de z = 1, se c − a − b não for um inteiro, têm-se duas soluções independentes

( a , b ; 1 + a + b − c ; 1 − z )

{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}

( 1 − z

)

c − a − b

( c − a , c − b ; 1 + c − a − b ; 1 − z )

{\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}

Ao redor de z = ∞, se a − b não for um inteiro, têm-se duas soluções independentes

− a

(

a , 1 + a − c ; 1 + a − b ;

− 1

)

{\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}

− b

(

b , 1 + b − c ; 1 + b − a ;

− 1

)

{\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}

Novamente, quando as condições de não-integralidade não são satisfeitas, existem outras soluções mais complicadas. Quaisquer 3 das 6 soluções acima satisfazem a uma relação linear, pois o espaço de soluções é bidimensional, dando (63) = 20 relações lineares entre elas, chamadas de fórmulas de conexão.

As 24 soluções de Kummer Uma equação fuchsiana de segunda ordem com n pontos singulares possui um grupo de simetrias agindo (projetivamente) sobre suas soluções, isomórfico ao grupo de Coxeter W(Dn) de ordem 2n−1n!. A equação hipergeométrica é o caso n = 3, com grupo de ordem 24 isomórfico ao grupo simétrico de 4 pontos, conforme descrito pela primeira vez por Kummer. O surgimento do grupo simétrico é acidental e não tem análogo para mais de 3 pontos singulares, e por vezes é melhor pensar no grupo como uma extensão do grupo simétrico sobre 3 pontos (agindo como permutações dos 3 pontos singulares) por um grupo de Klein (cujos elementos mudam os sinais das diferenças dos expoentes em um número par de pontos singulares). O grupo de 24 transformações de Kummer é gerado pelas três transformações que levam uma solução F(a, b; c; z) a uma dentre

( 1 − z

)

− a

(

a , c − b ; c ;

z − 1

)

F ( a , b ; 1 + a + b − c ; 1 − z )

( 1 − z

)

− b

(

c − a , b ; c ;

z − 1

)

{\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\F(a,b;1+a+b-c;1-z)\\(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\end{aligned}}}

que correspondem às transposições (12), (23) e (34) sob um isomorfismo com o grupo simétrico sobre 4 pontos 1, 2, 3, 4. (A primeira e a terceira dessas são de fato iguais a F(a, b; c; z), enquanto a segunda é uma solução independente para a equação diferencial.) Aplicar as 24 = 6×4 transformações de Kummer à função hipergeométrica fornece as 6 = 2×3 soluções dadas acima, correspondendo a cada um dos 2 expoentes possíveis em cada um dos 3 pontos singulares, sendo que cada qual aparece 4 vezes devido às identidades

( a , b ; c ; z )

= ( 1 − z

)

c − a − b

( c − a , c − b ; c ; z )

Transformação de Euler

( a , b ; c ; z )

= ( 1 − z

)

− a

( a , c − b ; c ;

z − 1

)

Transformação de Pfaff

( a , b ; c ; z )

= ( 1 − z

)

− b

( c − a , b ; c ;

z − 1

)

Transformação de Pfaff

{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)&&{\text{Transformação de Euler}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Transformação de Pfaff}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Transformação de Pfaff}}\end{aligned}}}

Forma Q A equação diferencial hipergeométrica pode ser levada à forma Q

+ Q ( z ) u ( z ) = 0

{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}

fazendo a substituição u = wv e eliminando o termo da primeira derivada. Constata-se que

Q =

[ 1 − ( a − b

)

] + z [ 2 c ( a + b − 1 ) − 4 a b ] + c ( 2 − c )

( 1 − z

)

{\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}

e v é dada pela solução para

d z

log ⁡ v ( z ) = −

c − z ( a + b + 1 )

2 z ( 1 − z )

= −

2 z

−

1 + a + b − c

2 ( z − 1 )

{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}

que é

v ( z ) =

− c

( 1 − z

)

( c − a − b − 1 )

{\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}

A forma Q é importante por sua relação com a Derivada schwarziana (Hille 1976, pp. 307–401).

Aplicações do triângulo de Schwarz

As aplicações do triângulo de Schwarz ou as funções s de Schwarz são as razões entre pares de soluções.

( z ) =

( 1 )

( z )

( 0 )

( z )

{\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}

onde k é um dos pontos 0, 1, ∞. A notação

( λ , μ , ν ; z ) =

( z )

{\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}

também é utilizada algumas vezes. Note que os coeficientes de conexão tornam-se transformações de Möbius nas aplicações dos triângulos. Observe que cada aplicação de triângulo é regular em z ∈ {0, 1, ∞} respectivamente, com

( z )

( 1 +

( z ) )

( z )

= ( 1 − z

)

( 1 +

( 1 − z ) )

{\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}}

∞

( z ) =

( 1 +

(

1 z

) ) .

{\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}

No caso especial em que λ, μ e ν são reais, com 0 ≤ λ, μ, ν < 1, as aplicações s são aplicações conformes do semiplano superior H para triângulos na Esfera de Riemann, limitados por arcos circulares. Esse mapeamento é uma generalização do Mapeamento de Schwarz-Christoffel para triângulos com arcos circulares. Os pontos singulares 0, 1 e ∞ são enviados aos vértices do triângulo. Os ângulos do triângulo são πλ, πμ e πν respectivamente. Além disso, no caso de λ=1/p, μ=1/q e ν=1/r para inteiros p, q, r, o triângulo pavimenta a esfera, o plano complexo ou o semiplano superior de acordo com se λ + μ + ν − 1 for positivo, zero ou negativo; e as aplicações s são funções inversas das funções automórficas do grupo triangular 〈p, q, r〉 = Δ(p, q, r).

Grupo de monodromia A monodromia de uma equação hipergeométrica descreve como as soluções fundamentais mudam quando continuadas analiticamente em torno de caminhos no plano z que retornam ao mesmo ponto. Ou seja, quando o caminho dá voltas ao redor de uma singularidade de 2F1, o valor das soluções no ponto final irá diferir do ponto de partida. Duas soluções fundamentais da equação hipergeométrica estão relacionadas entre si por uma transformação linear; logo a monodromia é um mapeamento (homomorfismo de grupos):

(

∖ { 0 , 1 } ,

) →

( 2 ,

)

{\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}

onde π1 é o grupo fundamental. Em outras palavras, a monodromia é uma representação linear bidimensional do grupo fundamental. O grupo de monodromia da equação é a imagem deste mapa, i.e., o grupo gerado pelas matrizes de monodromia. A representação da monodromia do grupo fundamental pode ser calculada explicitamente em termos dos expoentes nos pontos singulares. Se (α, α'), (β, β') e (γ, γ') são os expoentes em 0, 1 e ∞, então, tomando z0 próximo de 0, os caminhos fechados ao redor de 0 e 1 possuem as matrizes de monodromia

(

2 π i α

2 π i

′

)

(

2 π i β

−

2 π i

′

μ − 1

μ (

2 π i β

−

2 π i

′

)

( μ − 1

)

2 π i

′

−

2 π i β

2 π i

′

−

2 π i β

μ − 1

)

{\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\\g_{1}&={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}

onde

μ =

sin ⁡ π ( α +

′

) sin ⁡ π (

′

+ β +

′

)

sin ⁡ π (

′

) sin ⁡ π ( α + β +

′

)

{\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}

Se 1 − a, c − a − b, a − b são números racionais não inteiros com denominadores k, l, m, então o grupo de monodromia é finito se, e somente se,

k + 1

l + 1

m > 1

{\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}

, veja a Lista de Schwarz ou o algoritmo de Kovacic.

Fórmulas integrais

Tipo de Euler Se B é a função beta, então

( b , c − b )

( a , b ; c ; z ) =

∫

b − 1

( 1 − x

)

c − b − 1

( 1 − z x

)

− a

d x

R ( c ) > R ( b ) > 0 ,

{\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b){_{2}F_{1}}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}

desde que z não seja um número real maior ou igual a 1. Isso pode ser demonstrado expandindo (1 − zx)−a usando o teorema binomial e integrando termo a termo para z com valor absoluto menor que 1, e por continuação analítica para os demais locais. Quando z for um número real maior ou igual a 1, a continuação analítica deve ser utilizada, pois (1 − zx) é igual a zero em algum ponto no suporte da integral, e assim o valor da integral pode ser mal-definido. Isso foi introduzido por Euler em 1748 e implica nas transformações hipergeométricas de Euler e Pfaff. Outras representações, correspondentes a outros ramos principais, são dadas usando-se o mesmo integrando, mas com o caminho de integração sendo um Ciclo de Pochhammer fechado circundando as singularidades em diversas ordens. Esses caminhos correspondem à ação da monodromia.

Integral de Barnes Barnes usou a teoria dos resíduos para avaliar a integral de Barnes

2 π i

∫

− i ∞

i ∞

Γ ( a + s ) Γ ( b + s ) Γ ( − s )

Γ ( c + s )

( − z

)

d s

{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}

como

Γ ( a ) Γ ( b )

Γ ( c )

( a , b ; c ; z ) ,

{\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}

onde o contorno é desenhado a fim de separar os polos 0, 1, 2... dos polos −a, −a − 1, ..., −b, −b − 1, ... . Isso é válido desde que z não seja um número real não-negativo.

Transformada de John A função hipergeométrica de Gauss pode ser escrita como uma Transformada de John (Gelfand, Gindikin & Graev 2003, 2.1.2).

Relações contíguas de Gauss As seis funções

( a ± 1 , b ; c ; z ) ,

( a , b ± 1 ; c ; z ) ,

( a , b ; c ± 1 ; z )

{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}

são chamadas de contíguas a 2F1(a, b; c; z). Gauss mostrou que 2F1(a, b; c; z) pode ser escrita como uma combinação linear de quaisquer duas das suas funções contíguas, com coeficientes racionais em termos de a, b, c, e z. Isso fornece

(

)

= 15

{\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}

relações, dadas ao identificar duas linhas quaisquer do lado direito de

d F

d z

= z

a b

F ( a + , b + , c + )

= a ( F ( a + ) − F )

= b ( F ( b + ) − F )

= ( c − 1 ) ( F ( c − ) − F )

( c − a ) F ( a − ) + ( a − c + b z ) F

1 − z

( c − b ) F ( b − ) + ( b − c + a z ) F

1 − z

= z

( c − a ) ( c − b ) F ( c + ) + c ( a + b − c ) F

c ( 1 − z )

{\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}}

onde F = 2F1(a, b; c; z), F(a+) = 2F1(a + 1, b; c; z), e assim por diante. A aplicação repetida destas relações fornece uma relação linear em C(z) entre quaisquer três funções da forma

( a + m , b + n ; c + l ; z ) ,

{\displaystyle {_{2}F_{1}}(a+m,b+n;c+l;z),}

onde m, n, e l são inteiros.

Fração contínua de Gauss

Gauss usou as relações contíguas para dar várias formas de escrever um quociente de duas funções hipergeométricas como uma fração contínua, por exemplo:

( a + 1 , b ; c + 1 ; z )

( a , b ; c ; z )

1 +

( a − c ) b

c ( c + 1 )

1 +

( b − c − 1 ) ( a + 1 )

( c + 1 ) ( c + 2 )

1 +

( a − c − 1 ) ( b + 1 )

( c + 2 ) ( c + 3 )

1 +

( b − c − 2 ) ( a + 2 )

( c + 3 ) ( c + 4 )

1 +

⋱

{\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}

Fórmulas de transformação As fórmulas de transformação relacionam duas funções hipergeométricas em diferentes valores do argumento z.

Transformações lineares fracionárias A transformação de Euler é

( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z

)

c − a − b

( c − a , c − b ; c ; z ) .

{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}

Ela segue por meio da combinação das duas transformações de Pfaff

( a , b ; c ; z )

= ( 1 − z

)

− b

(

b , c − a ; c ;

z − 1

)

( a , b ; c ; z )

= ( 1 − z

)

− a

(

a , c − b ; c ;

z − 1

)

{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}}

que por sua vez derivam da representação integral de Euler. Para extensões das primeira e segunda transformações de Euler, consulte Rathie & Paris (2007) e Rakha & Rathie (2011). Também pode ser escrita como uma combinação linear

( a , b ; c ; z ) =

Γ ( c ) Γ ( c − a − b )

Γ ( c − a ) Γ ( c − b )

( a , b ; a + b + 1 − c ; 1 − z )

Γ ( c ) Γ ( a + b − c )

Γ ( a ) Γ ( b )

( 1 − z

)

c − a − b

( c − a , c − b ; 1 + c − a − b ; 1 − z ) .

{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}

Transformações quadráticas Se dois dos números 1 − c, c − 1, a − b, b − a, a + b − c, c − a − b forem iguais, ou se um deles for 1/2, então existe uma transformação quadrática da função hipergeométrica, que a conecta a um valor diferente de z relacionado por uma equação quadrática. Os primeiros exemplos foram dados por Kummer (1836), e uma lista completa foi dada por Goursat (1881). Um exemplo comum é

( a , b ; 2 b ; z ) = ( 1 − z

)

−

a 2

(

1 2

a , b −

1 2

a ; b +

1 2

;

4 z − 4

)

{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}

Transformações de ordem superior Se 1−c, a−b, a+b−c diferirem por sinais ou dois deles forem 1/3 ou −1/3, então existe uma transformação cúbica da função hipergeométrica, conectando-a a um valor diferente de z relacionado por uma equação cúbica. Os primeiros exemplos foram dados por Goursat (1881). Um exemplo típico é

(

3 2

a ,

1 2

( 3 a − 1 ) ; a +

1 2

; −

)

= ( 1 + z

)

1 − 3 a

(

a −

1 3

, a ; 2 a ; 2 z ( 3 +

) ( 1 + z

)

− 3

)

{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}

Existem também algumas transformações de graus 4 e 6. Transformações de outros graus apenas existem se a, b, e c forem determinados números racionais (Vidunas 2005). Por exemplo,

(

1 4

3 8

;

7 8

; z

)

(

− 60

+ 134

− 60 z + 1

)

(

1 48

17 48

;

7 8

;

− 432 z ( z − 1

)

( z + 1

)

(

− 60

+ 134

− 60 z + 1

)

{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}

Valores em pontos especiais z Consulte Slater (1966, Apêndice III) para uma lista de fórmulas de somatório em pontos especiais, a maioria dos quais também aparece em Bailey (1935). Gessel & Stanton ( 1982) fornece avaliações adicionais em outros pontos. Koepf (1995) mostra como a maioria dessas identidades pode ser verificada através de algoritmos computacionais.

Valores especiais em z = 1 O teorema de soma de Gauss, nomeado em homenagem a Carl Friedrich Gauss, é a identidade

( a , b ; c ; 1 ) =

Γ ( c ) Γ ( c − a − b )

Γ ( c − a ) Γ ( c − b )

R ( c ) > R ( a + b )

{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}

que segue a partir da fórmula integral de Euler fazendo z = 1. Inclui a Identidade de Vandermonde como um caso especial. Para o caso especial em que

a = − m

{\displaystyle a=-m}

( − m , b ; c ; 1 ) =

( c − b

)

( c

)

{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}

A fórmula de Dougall generaliza este caso para a série hipergeométrica bilateral em z = 1.

Teorema de Kummer (z = −1) Existem muitos casos em que funções hipergeométricas podem ser avaliadas em z = −1 aplicando-se uma transformação quadrática para mudar o valor de z = −1 para z = 1 e então usando o teorema de Gauss para avaliar o resultado. Um exemplo típico é o teorema de Kummer, nomeado devido a Ernst Kummer:

( a , b ; 1 + a − b ; − 1 ) =

Γ ( 1 + a − b ) Γ ( 1 +

1 2

a )

Γ ( 1 + a ) Γ ( 1 +

1 2

a − b )

{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}

que se deduz a partir das transformações quadráticas de Kummer

( a , b ; 1 + a − b ; z )

= ( 1 − z

)

− a

(

a 2

1 + a

− b ; 1 + a − b ; −

4 z

( 1 − z

)

= ( 1 + z

)

− a

(

a 2

a + 1

; 1 + a − b ;

4 z

( 1 + z

)

{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}

e do teorema de Gauss fazendo z = −1 na primeira identidade. Para as generalizações da soma de Kummer, consulte Lavoie , Grondin & Rathie ( 1996).

Valores em z = 1/2 O segundo teorema do somatório de Gauss é

(

a , b ;

1 2

(

1 + a + b

)

;

1 2

)

Γ (

1 2

) Γ (

1 2

(

1 + a + b

)

Γ (

1 2

(

1 + a )

)

Γ (

1 2

(

1 + b

)

{\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}

O teorema de Bailey é

(

a , 1 − a ; c ;

1 2

)

Γ (

1 2

c ) Γ (

1 2

(

1 + c

)

Γ (

1 2

(

c + a

)

) Γ (

1 2

(

1 + c − a

)

{\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}

Para generalizações do segundo teorema do somatório de Gauss e do teorema do somatório de Bailey, consulte Lavoie, Grondin & Rathie (1996).

Outros pontos Existem muitas outras fórmulas que dão a função hipergeométrica como um número algébrico para valores racionais especiais dos parâmetros, algumas das quais estão listadas em Gessel & Stanton ( 1982) e Koepf (1995). Alguns exemplos comuns são fornecidos por

(

a , − a ;

1 2

;

4 ( x − 1 )

)

( 1 − x

)

+ ( 1 − x

)

− a

{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}

que pode ser reescrito como

( cos ⁡ x ) =

(

a , − a ;

1 2

;

1 2

( 1 − cos ⁡ x )

)

= cos ⁡ ( a x )

{\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}

sempre que −π < x < π e T for o polinômio de Chebyshev (generalizado).

Ver também Série de Appell Série hipergeométrica básica Série hipergeométrica bilateral Série hipergeométrica elíptica Função hipergeométrica geral Série hipergeométrica generalizada Distribuição hipergeométrica Série hipergeométrica de Lauricella Série hipergeométrica modular Equação diferencial de Riemann

Notas

Referências

Bibliografia Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special functions. Col: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 71. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6. MR 1688958 Bailey, W.N. (1935). Generalized Hypergeometric Series (PDF). [S.l.]: Cambridge University Press. Consultado em 23 de julho de 2016. Arquivado do original (PDF) em 24 de junho de 2017 Beukers, Frits (2002), Gauss' hypergeometric function. (notas de aula que revisam o básico, além de mapas de triângulos e monodromia) Olde Daalhuis, Adri B. (2010). «Função hipergeométrica». In: Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. NIST Handbook of Mathematical Functions. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. MR 2723248 Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953). Higher transcendental functions (PDF). I. Nova Iorque – Toronto – Londres: McGraw–Hill Book Company, Inc. ISBN 978-0-89874-206-0. MR 0058756. Consultado em 30 de julho de 2011. Arquivado do original (PDF) em 11 de agosto de 2011 Gasper, George & Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series, 2a Edição, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4. Gauss, Carl Friedrich (1813). «Disquisitiones generales circa seriem infinitam

1 +

α β

1 ⋅ γ

x +

α ( α + 1 ) β ( β + 1 )

1 ⋅ 2 ⋅ γ ( γ + 1 )

x +

etc.

{\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}}

». Göttingen. Commentationes Societatis Regiae Scientarum Gottingensis Recentiores (em latim). 2 Gelfand, I. M.; Gindikin, S.G.; Graev, M.I. (2003) [2000]. Selected topics in integral geometry. Col: Translations of Mathematical Monographs. 220. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2932-5. MR 2000133 Gessel, Ira; Stanton, Dennis (1982). «Strange evaluations of hypergeometric series». SIAM Journal on Mathematical Analysis. 13 (2): 295–308. ISSN 0036-1410. MR 647127. doi:10.1137/0513021 Goursat, Édouard (1881). «Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (em francês). 10: 3–142. doi:10.24033/asens.207. Consultado em 16 de outubro de 2008 Heckman, Gerrit; Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonic Analysis and Special Functions on Symmetric Spaces. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2 (a parte 1 trata das funções hipergeométricas sobre os grupos de Lie) Hille, Einar (1976). Ordinary differential equations in the complex domain. [S.l.]: Dover. ISBN 0-486-69620-0 Ince, E. L. (1944). Ordinary Differential Equations. [S.l.]: Dover Publications Klein, Felix (1981). Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion. Col: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (em alemão). 39. Berlim, Nova Iorque: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10455-1. MR 668700 Koepf, Wolfram (1995). «Algorithms for m-fold hypergeometric summation». Journal of Symbolic Computation. 20 (4): 399–417. ISSN 0747-7171. MR 1384455. doi:10.1006/jsco.1995.1056 Kummer, Ernst Eduard (1836). «Über die hypergeometrische Reihe

1 +

α ⋅ β

1 ⋅ γ

x +

α ( α + 1 ) β ( β + 1 )

1 ⋅ 2 ⋅ γ ( γ + 1 )

α ( α + 1 ) ( α + 2 ) β ( β + 1 ) ( β + 2 )

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ γ ( γ + 1 ) ( γ + 2 )

+ ⋯

{\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\beta (\beta +1)(\beta +2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma (\gamma +1)(\gamma +2)}}x^{3}+\cdots }

». Journal für die reine und angewandte Mathematik (em alemão). 15: 39–83, 127–172. ISSN 0075-4102 Lavoie, J. L.; Grondin, F.; Rathie, A.K. (1996). «Generalizations of Whipple's theorem on the sum of a 3F2». J. Comput. Appl. Math. 72 (2): 293–300. doi:10.1016/0377-0427(95)00279-0 Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007). «Section 6.13. Hypergeometric Functions». Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 3a ed. Nova Iorque: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8 Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011). «Extensions of Euler's type-II transformation and Saalschutz's theorem». Bull. Korean Math. Soc. 48 (1): 151–156. doi:10.4134/BKMS.2011.48.1.151 Rathie, Arjun K.; Paris, R.B. (2007). «An extension of the Euler's-type transformation for the 3F2 series». Far East J. Math. Sci. 27 (1): 43–48 Riemann, Bernhard (1857). «Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F(α, β, γ, x) darstellbaren Functionen». Göttingen: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung. Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (em alemão). 7: 3–22 (uma reimpressão deste artigo pode ser encontrada em «Todas as publicações de Riemann» (PDF) ) Slater, Lucy Joan (1960). Confluent hypergeometric functions. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. MR 0107026 Slater, Lucy Joan (1966). Generalized hypergeometric functions. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. MR 0201688 (existe uma versão em brochura de 2008 com ISBN 978-0-521-09061-2) Vidunas, Raimundas (2005). «Transformations of some Gauss hypergeometric functions». Journal of Symbolic Computation. 178 (1–2): 473–487. Bibcode:2005JCoAM.178..473V. arXiv:math/0310436. doi:10.1016/j.cam.2004.09.053 Wall, H.S. (1948). Analytic Theory of Continued Fractions. [S.l.]: D. Van Nostrand Company, Inc. Whittaker, E.T.; Watson, G.N. (1927). A Course of Modern Analysis. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces. Braunschweig – Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2. MR 1453580

Ligações externas Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Hypergeometric function», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions (University of Oxford, Tese de Mestrado) Marko Petkovsek, Herbert Wilf e Doron Zeilberger, O livro "A = B" (disponível gratuitamente para download) Weisstein, Eric W. «Hypergeometric Function». MathWorld (em inglês)

Função hipergeométrica

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